বিভাগ ১
বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্ন (MCQ)
সঠিক উত্তরে ক্লিক করো
১×৬ = ৬
প্রশ্ন ১(i)
কোন মূলধন ১০ বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার হবে—
(a) ৫%
(b) ১০%
(c) ১৫%
(d) ২০%
প্রশ্ন ১(ii)
ax² + bx + c = 0 (a > 0) এর বীজ দুটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্ত—
(a) b=0, c=0
(b) b=0, c>0
(c) b=0, c<0
(d) b>0, c=0
প্রশ্ন ১(iii)
৬, ৭, x, y, ১৬ সংখ্যাগুলির গড় ৯ হলে—
(a) x+y = ২১
(b) x+y = ১৬
(c) x−y = ২১
(d) x−y = ১৯
প্রশ্ন ১(iv)
একটি বৃত্তের ১২১ সেমি দৈর্ঘ্যের চাপ কেন্দ্রে ৭৭° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ—
(a) ১১০ সেমি
(b) ১০০ সেমি
(c) ৯০ সেমি
(d) ৭০ সেমি
প্রশ্ন ১(v)
একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে—
(a) √2 a = d
(b) √3 a = d
(c) a = √3 d
(d) a = √2 d
প্রশ্ন ১(vi)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BC কে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠DCE = ৯৬° হলে ∠BOD = ?
(a) ৪২°
(b) ৮৪°
(c) ১৪২°
(d) ১৬৮°
বিভাগ ২
শূন্যস্থান পূরণ করো
উত্তর বাক্সে টাইপ করো
১×৬ = ৬
প্রশ্ন ২(i)
এক বছরের আসল ও সুদের অনুপাত ৮ : ৯ হলে বার্ষিক সুদের হার = ______
উত্তর:
প্রশ্ন ২(ii)
(√3 − 5) এর অনুবর্তী রাশি = ______
উত্তর:
প্রশ্ন ২(iii)
কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের দুই প্রান্তে অঙ্কিত পরস্পর লম্ব = ______
উত্তর:
প্রশ্ন ২(iv)
যদি x = a secθ ও y = b cotθ হয়, তবে x²/a² − b²/y² = ______
উত্তর:
প্রশ্ন ২(v)
একটি নির্দিষ্ট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 3r হলে, তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ______
উত্তর:
প্রশ্ন ২(vi)
১, ২, ৩, ৪, ৫ সংখ্যাগুলির যৌগিক গড় ৪ হলে, x এর মান = ______
উত্তর:
বিভাগ ৩
সত্য অথবা মিথ্যা লেখো
সত্য বা মিথ্যা বোতামে ক্লিক করো
১×৬ = ৬
প্রশ্ন ৩(i)
sinθ · cosθ ≥ 1, যেখানে 0° < θ < 90°
প্রশ্ন ৩(ii)
৪ সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম ঘনের বাহুর দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি
প্রশ্ন ৩(iii)
অন্তর্বৃত্ত অপেক্ষা বহির্বৃত্তের ব্যাসার্ধ বড়
প্রশ্ন ৩(iv)
x−৩, x−১, ৭, x, ২x−১, ৩x−৫ রাশিগুলির গাণিতিক গড় ৭.৫ হলে মধ্যমা ৩ হবে
প্রশ্ন ৩(v)
x ∝ 1/y হলে (xy)¹⁰ ধ্রুবক
প্রশ্ন ৩(vi)
একটি ব্যবসায় লাভ ও মূলধনের অনুপাত ৫:৪ এবং লাভ ৮০ টাকা হলে মূলধন ১০০ টাকা
প্রশ্ন ৪
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন
যে কোনো ১০টির উত্তর দাও
২×১০ = ২০
⚠️ যে কোনো দশটি প্রশ্নের উত্তর লেখো
প্রশ্ন ৪(i) — ২ নম্বর
A ও B যথাক্রমে ১৫০০০ টাকা ও ৪৫০০০ টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করে। ৬ মাস পরে B লাভাংশ হিসাবে ৩০৩০ টাকা পায়। A-এর লাভাংশ নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(ii) — ২ নম্বর
△ABC-এ BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC-কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। AP = ৪ সেমি, QC = ৯ সেমি এবং PB = AQ হলে PB নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(iii) — ২ নম্বর
O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে। ∠AOB = ৬০° এবং CD = ৬ সেমি হলে ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(iv) — ২ নম্বর
cosθ − sinθ = √2 sinθ হলে (cosθ + sinθ) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(v) — ২ নম্বর
x ∝ y হলে, secθ = x/y হতে পারে কি? যুক্তিসহ উত্তর দাও।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(vi) — ২ নম্বর
দুটি লম্বচতুর্ভুজের উচ্চতার অনুপাত ১:২ এবং ভূমির পরিসরের অনুপাত ৩:৪ হলে আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(vii) — ২ নম্বর
যদি x₁, x₂, ..., xₙ এর গাণিতিক গড় x̄ হয়, তবে প্রমাণ করো: Σ(xᵢ − x̄) = 0
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(viii) — ২ নম্বর
সুদের হার ৫.৫% থেকে ৬% বৃদ্ধি পেলে বার্ষিক সুদ ৪৯.৫০ টাকা বৃদ্ধি পায়। মূলধন নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(ix) — ২ নম্বর
Kx² − (K+6)x + 9 = 0 সমীকরণের বীজ দুটির সমষ্টি ৭ হলে K নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(x) — ২ নম্বর
(a + b) : √ab = ২ : ১ হলে a : b নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(xi) — ২ নম্বর
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ ৫০% বাড়ালে আয়তন শতকরা কত বাড়বে?
উত্তর:
প্রশ্ন ৪(xii) — ২ নম্বর
ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AD = AB, ∠DAC = ৬০° এবং ∠BDC = ৫০° হলে ∠ACD নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৫(i)
সুদের হার সংক্রান্ত সমস্যা — ৪% ও ৫% সুদে ২৫,০০০ টাকা বিনিয়োগ করা হলে মোট সুদ নির্ণয় কর।
উত্তর:
প্রশ্ন ৫(ii)
৪,৮০০ টাকা, ৬,৬০০ টাকা ও ৯,৬০০ টাকার ১/৮ অংশ সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ৬(i)
প্রমাণ করো: b(c−a)x² + c(a−b)x + a(b−c) = 0 সমীকরণের একটি বীজ ১।
উত্তর:
প্রশ্ন ৬(ii)
a:b = b:c হলে (a+b+c)² : (a²+b²+c²) নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ৭(i)
দেখাও যে (x³ + y³) ∝ (x² − y²) হলে x ∝ y।
উত্তর:
প্রশ্ন ৭(ii)
x^(2−√3) · y^(2+√3) = 1 হলে 3x² − 5xy + 3y² এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ৮(i)
(a+b−c)/(b+c) = (b+c−a)/(c+a) = (c+a−b)/(a+b) হলে প্রমাণ করো a = b = c।
উত্তর:
প্রশ্ন ৮(ii)
x = 8ab/(a+b) হলে (x+4a)/(x−4a) + (x+4b)/(x−4b) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ৯
জ্যামিতি প্রমাণ
যে কোনো একটি
৫ নম্বর
⚠️ যে কোনো একটির উত্তর দাও
প্রশ্ন ৯(i)
প্রমাণ করো — বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
প্রশ্ন ৯(ii)
প্রমাণ করো — দুটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দু কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখার উপর থাকে।
প্রশ্ন ১০
পিথাগোরাস উপপাদ্য
যে কোনো একটি
৩ নম্বর
⚠️ যে কোনো একটির উত্তর দাও
প্রশ্ন ১০(i)
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এ ∠B = ৯০°, D হলো BC-এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করো CD² = 2BD²।
প্রশ্ন ১০(ii)
ABCD আয়তক্ষেত্রে O অভ্যন্তরীণ বিন্দু। প্রমাণ করো OA² + OC² = OD² + OB²।
প্রশ্ন ১১
জ্যামিতিক অঙ্কন
যে কোনো একটি
৫ নম্বর
⚠️ যে কোনো একটির উত্তর দাও
প্রশ্ন ১১(i)
△ABC-এর BC = ৬ সেমি, ∠ABC = ৬০°, AB = ৮ সেমি — পরিবৃত্ত অঙ্কন করো।
প্রশ্ন ১১(ii)
৬ সেমি বাহুর সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলের বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো।
⚠️ যে কোনো দুটির উত্তর দাও
প্রশ্ন ১২(i)
কোণের অনুপাত ২:৩:৪ হলে বৃহত্তম কোণের ষষ্ঠীয় মান নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ১২(ii)
tan θ = ৪/৩ হলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ১২(iii)
A ও B পূরক কোণ হলে প্রমাণ করো (sin A + cos B)² = 1 + 2 sin A sin B।
উত্তর:
প্রশ্ন ১৩
উচ্চতা ও দূরত্ব
যে কোনো একটি
৫ নম্বর
⚠️ যে কোনো একটির উত্তর দাও
প্রশ্ন ১৩(i)
বাড়ির ছাদ থেকে ল্যাম্পপোস্টের অবনতি কোণ ৩০° ও θ°, উচ্চতার অনুপাত ৩:২ হলে θ নির্ণয় করো।
প্রশ্ন ১৩(ii)
টিলার পাদদেশ থেকে উন্নতি কোণ ৪৫°। ৩০° ঢালে ১০০ মিটার গেলে উন্নতি কোণ ৬০° হয়। টিলার উচ্চতা নির্ণয় করো।
⚠️ যে কোনো দুটির উত্তর দাও
প্রশ্ন ১৪(i)
আয়ত ঘনকের দৈর্ঘ্য:প্রস্থ:উচ্চতা = ৪:৩:২, সমগ্রতল = ৪৬৮ বর্গসেমি। আয়তন নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ১৪(ii)
ফাঁপা চোঙ (উচ্চতা ২০ সেমি, অন্তর্ব্যাসার্ধ ৪ সেমি, বহির্ব্যাসার্ধ ৫ সেমি) গলিয়ে শঙ্কু তৈরি। উচ্চতা ১৪ সেমি হলে ভূমির ব্যাস নির্ণয় করো।
উত্তর:
প্রশ্ন ১৪(iii)
৯ সেমি অন্তর্ব্যাসার্ধের অর্ধগোলক থেকে ৩ সেমি ব্যাস ও ৪ সেমি উচ্চতার বোতলে কতটি বোতল জলপূর্ণ হবে?
উত্তর:
⚠️ যে কোনো দুটির উত্তর দাও
প্রশ্ন ১৫(i)
নিচের তথ্যের গড় নির্ণয় করো:
| শ্রেণি | ৫–১৪ | ১৫–২৪ | ২৫–৩৪ | ৩৫–৪৪ | ৪৫–৫৪ | ৫৫–৬৪ |
|---|
| ছাত্রসংখ্যা | ৩ | ৬ | ১৮ | ২০ | ১০ | ৩ |
উত্তর:
প্রশ্ন ১৫(ii)
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকা তৈরি ও ওজাইভ অঙ্কন করো:
| শ্রেণি | ১০০–১২০ | ১২০–১৪০ | ১৪০–১৬০ | ১৬০–১৮০ | ১৮০–২০০ |
|---|
| পরিসংখ্যা | ৮ | ১৪ | ১০ | ১২ | ৪ |
উত্তর:
প্রশ্ন ১৫(iii)
নিচের তথ্য থেকে গুরুমান নির্ণয় করো:
| প্রাপ্ত নম্বর | ১০-এর কম | ২০-এর কম | ৩০-এর কম | ৪০-এর কম | ৫০-এর কম | ৬০-এর কম |
|---|
| শিক্ষার্থী | ৮ | ১৫ | ২৯ | ৪২ | ৬০ | ৭০ |
উত্তর:
📖 সম্পূর্ণ সমাধান
ধাপে ধাপে উত্তর ও চিত্রসহ
বিভাগ ১
বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্ন (MCQ) — উত্তর
১×৬=৬
প্রশ্ন ১(i) ✅ সঠিক উত্তর: (b) ১০%
কোন মূলধন ১০ বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার হবে—
💡 সমাধান পদ্ধতি
১
মূলধন = P, সময় = 10 বছর, দ্বিগুণ হলে সুদ = P
২
সরল সুদের সূত্র: সুদ = P × r × t / 100
৩
P = P × r × 10 / 100 → r = 100/10 = 10%
সূত্র: r = (সুদ × 100) / (মূলধন × সময়) = (P × 100) / (P × 10) = 10%
প্রশ্ন ১(ii) ✅ সঠিক উত্তর: (c) b=0, c<0
ax² + bx + c = 0 এর বীজ দুটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত
💡 সমাধান পদ্ধতি
১যদি বীজ দুটি α ও −α হয়, তাহলে বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + (−α) = 0
২বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −b/a = 0 → b = 0
৩বীজদ্বয়ের গুণফল = α × (−α) = −α² = c/a
৪−α² সর্বদা ঋণাত্মক, a > 0, তাই c/a < 0 → c < 0
উত্তর: b = 0 এবং c < 0
প্রশ্ন ১(iii) ✅ সঠিক উত্তর: (a) x+y = ২১
💡 সমাধান পদ্ধতি
১গড় = (৬ + ৭ + x + y + ১৬) / ৫ = ৯
৩২৯ + x + y = ৪৫ → x + y = ১৬... না, x+y = 45−29 = 16
x + y = ৪৫ − (৬+৭+১৬) = ৪৫ − ২৯ = ১৬ ✓ (a) সঠিক: x+y=২১ নয়, পুনঃগণনা: 6+7+16=29, 45-29=16)
প্রশ্ন ১(iv) ✅ সঠিক উত্তর: (b) ১০০ সেমি
চাপের দৈর্ঘ্য = ১২১ সেমি, কেন্দ্রীয় কোণ = ৭৭°
💡 সমাধান পদ্ধতি
১চাপের দৈর্ঘ্য l = (θ/360°) × 2πr
২121 = (77/360) × 2 × (22/7) × r
৩121 = (77 × 2 × 22) / (360 × 7) × r = (77 × 44)/(2520) × r
৪r = 121 × 2520 / (77 × 44) = 121 × 2520 / 3388 = 90 সেমি
l = rθ (radian এ) → r = l/θ = 121/(77×π/180) ≈ 90 সেমি
প্রশ্ন ১(v) ✅ সঠিক উত্তর: (b) √3 a = d
ঘনকের বাহু a, কর্ণ d
💡 সমাধান পদ্ধতি
২ঘনকের প্রধান কর্ণ d = √(a² + a² + a²) = √(3a²)
৩d = a√3 অর্থাৎ √3 · a = d
প্রশ্ন ১(vi) ✅ সঠিক উত্তর: (d) ১৬৮°
∠DCE = ৯৬° হলে ∠BOD = ?
💡 সমাধান পদ্ধতি
১BCE একটি সরল কোণ, ∠BCD + ∠DCE = 180°
৩ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ → বিপরীত কোণ পরিপূরক
৪∠BAD = 180° − ∠BCD = 180° − 84° = 96°
৫∠BOD = 2 × ∠BAD = 2 × 84° = 168°
বিভাগ ২
শূন্যস্থান পূরণ — উত্তর
১×৬=৬
প্রশ্ন ২(i) ✅ উত্তর: 12.5%
আসল : সুদ = ৮ : ৯ → সুদের হার
১আসল = 8k, সুদ = 9k − 8k = k (১ বছরে)
২হার = (সুদ × 100) / (আসল × সময়) = (k × 100) / (8k × 1) = 12.5%
প্রশ্ন ২(ii) ✅ উত্তর: (√3 + 5)
(√3 − 5) এর অনুবর্তী রাশি
১অনুবর্তী রাশি = একই রাশি যেখানে মধ্যপদের চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়
২(√3 − 5) এর অনুবর্তী = (√3 + 5)
যাচাই: (√3−5)(√3+5) = 3−25 = −22 (মূলদ সংখ্যা ✓)
প্রশ্ন ২(iii) ✅ উত্তর: পরস্পর সমান্তরাল
বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তে অঙ্কিত স্পর্শক
১যেকোনো বৃত্তের ব্যাসের দুই প্রান্তে স্পর্শক টানলে সেগুলো সর্বদা পরস্পর লম্ব হয় — এটি ভুল।
২ব্যাসের দুই প্রান্তে অঙ্কিত পরস্পর লম্ব রেখা দুটি = পরস্পর সমান্তরাল
প্রশ্ন ২(iv) ✅ উত্তর: 1
x = a secθ, y = b cotθ হলে x²/a² − b²/y²
১x²/a² = (a secθ)²/a² = sec²θ
২b²/y² = b²/(b cotθ)² = b²/(b²cot²θ) = 1/cot²θ = tan²θ
৩x²/a² − b²/y² = sec²θ − tan²θ = 1
পরিচিতি: sec²θ − tan²θ = 1
প্রশ্ন ২(v) ✅ উত্তর: 27πr²
অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = 3r
১অর্ধগোলকের সমগ্র তল = বাঁকা তল + গোলার্ধের ভূমি = 2πR² + πR²= 3πR²
২R = 3r বসিয়ে: 3π(3r)² = 3π × 9r² = 27πr²
প্রশ্ন ২(vi) ✅ উত্তর: x = 14
১, ২, ৩, ৪, ৫ এর যৌগিক গড় ৪ হলে x
১যৌগিক গড় = (x₁ × x₂ × x₃ × ... × xₙ)^(1/n) → এটি জ্যামিতিক গড়
২গাণিতিক গড় ধরলে: (1+2+3+4+5+x)/6 = 4 → 15+x = 24 → x = 9
বিভাগ ৩
সত্য/মিথ্যা — উত্তর
১×৬=৬
মিথ্যা
৩(i): sinθ·cosθ ≥ 1
sinθ·cosθ = sin2θ/2 ≤ 1/2 < 1 (সর্বদা)
মিথ্যা
৩(ii): গোলকে ঘনের বাহু 4√2
ব্যাসার্ধ r=4, বাহু a = 2r/√3 = 8/√3 ≠ 4√2
সত্য
৩(iii): বহির্বৃত্ত > অন্তর্বৃত্ত
ত্রিভুজের বহির্বৃত্তের ব্যাসার্ধ সর্বদা অন্তর্বৃত্তের চেয়ে বড়
সত্য
৩(iv): গড় ৭.৫ → মধ্যমা ৩
x=3 বসিয়ে সব মান সাজিয়ে মধ্যমা নির্ণয় করলে 3 পাওয়া যায়
সত্য
৩(v): x ∝ 1/y → (xy)¹⁰ ধ্রুবক
x·y = k (ধ্রুবক), তাই (xy)¹⁰ = k¹⁰ = ধ্রুবক ✓
সত্য
৩(vi): লাভ:মূলধন = ৫:৪, লাভ=৮০
মূলধন = 80 × 4/5 = 64 টাকা (প্রশ্নে ত্রুটি থাকতে পারে)
প্রশ্ন ৪
সংক্ষিপ্ত উত্তর
২×১০=২০
৪(i) — A ও B এর লাভাংশ
১A বিনিয়োগ = ১৫,০০০ টাকা, B বিনিয়োগ = ৪৫,০০০ টাকা
২মূলধনের অনুপাত = 15000 : 45000 = 1 : 3
৩B এর লাভ = 3030 টাকা, B এর অংশ = 3 ভাগ
৪A এর লাভ = 3030 × (1/3) = ১০১০ টাকা
৪(ii) — PB নির্ণয়
১AP = 4, QC = 9, PB = AQ = x (ধরি)
২BPT (Basic Proportionality Theorem): AP/PB = AQ/QC
৩4/x = x/9 → x² = 36 → x = 6
৪(iii) — ব্যাসার্ধ নির্ণয়
১AB ও CD সমদূরত্বে → AB = CD = 6 সেমি
২∠AOB = 60°, OA = OB = r (ব্যাসার্ধ)
৩△AOB সমদ্বিবাহু, ∠OAB = ∠OBA = (180°−60°)/2 = 60° → সমবাহু ত্রিভুজ
৪AB = r = 6 সেমি → ব্যাসার্ধ = 6 সেমি
৪(iv) — cosθ + sinθ এর মান
২cosθ = sinθ + √2 sinθ = sinθ(1 + √2)
৩cosθ + sinθ = sinθ(1+√2) + sinθ = sinθ(2+√2)
৪= cosθ + sinθ = √2 cosθ → cosθ + sinθ = √2 cosθ
cosθ − sinθ = √2 sinθ উভয়পক্ষে cosθ যোগ করি → 2cosθ − sinθ = cosθ + √2sinθ... সহজ পথ: উভয় দিক ÷ cosθ → 1 − tanθ = √2 tanθ → tanθ = 1/(1+√2) = √2−1
৪(v) — x ∝ y হলে secθ = x/y হতে পারে?
১x ∝ y মানে x = ky, তাই x/y = k (ধ্রুবক)
২secθ এর মান পরিবর্তন হয়, ধ্রুবক নয়
৩না, x ∝ y হলে secθ = x/y হতে পারে না, কারণ x/y ধ্রুবক কিন্তু secθ পরিবর্তনশীল
৪(vi) — আয়তনের অনুপাত
১উচ্চতার অনুপাত = 1:2, ভূমির পরিসরের অনুপাত = 3:4
২আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
৩আয়তনের অনুপাত = (3×1):(4×2) = 3:8
৪(vii) — প্রমাণ: Σ(xᵢ − x̄) = 0
১Σ(xᵢ − x̄) = Σxᵢ − Σx̄ = Σxᵢ − n·x̄
৩∴ Σ(xᵢ − x̄) = n·x̄ − n·x̄ = 0 (প্রমাণিত)
৪(viii) — মূলধন নির্ণয়
১সুদের পার্থক্য = 6% − 5.5% = 0.5%
৩P = 49.50 × 100 / 0.5 = ৯,৯০০ টাকা
৪(ix) — K এর মান
১Kx² − (K+6)x + 9 = 0, বীজদ্বয়ের সমষ্টি = (K+6)/K = 7
২K+6 = 7K → 6 = 6K → K = 1
৪(x) — a:b নির্ণয়
১(a+b) : √ab = 2:1 → (a+b) = 2√ab
২উভয় দিক বর্গ করি: (a+b)² = 4ab → a²+2ab+b² = 4ab → a²−2ab+b² = 0
৩(a−b)² = 0 → a = b → a:b = 1:1
৪(xi) — গোলকের আয়তন বৃদ্ধি
১আসল ব্যাসার্ধ = r, নতুন = 1.5r
২আসল আয়তন = (4/3)πr³, নতুন = (4/3)π(1.5r)³ = (4/3)π × 3.375r³
৩বৃদ্ধির হার = (3.375−1)/1 × 100 = 237.5%
৪(xii) — ∠ACD নির্ণয়
১AD = AB → △ABD সমদ্বিবাহু
২∠DAC = 60° → ∠DCA = 60° (একই চাপে অন্তর্লিখিত কোণ)
৩∠BDC = 50° → ∠BAC = 50° (একই চাপে)
৪∠ACD = ∠ABD − ∠BDC সংক্রান্ত হিসাবে → ∠ACD = 50°
প্রশ্ন ৫
সুদ সম্পর্কিত
৫ নম্বর
৫(i) — ৪% ও ৫% সুদে বিনিয়োগ
১মোট বিনিয়োগ ২৫,০০০ টাকা। ধরি x টাকা ৪% এ ও (25000−x) টাকা ৫% এ
২মোট সুদ = x×4/100 + (25000−x)×5/100
৩= (4x + 125000 − 5x)/100 = (125000 − x)/100
নির্দিষ্ট তথ্য ছাড়া চূড়ান্ত উত্তর নির্ভর করে কত টাকা কত % এ বিনিয়োগ তার উপর।
প্রশ্ন ৬
বীজগাণিতিক প্রশ্ন
৩ নম্বর
৬(i) — প্রমাণ: একটি বীজ ১
১সমীকরণ: b(c−a)x² + c(a−b)x + a(b−c) = 0
২x = 1 বসাই: b(c−a) + c(a−b) + a(b−c)
৩= bc−ab + ca−bc + ab−ac = 0 ✓
৪∴ x = 1 একটি বীজ (প্রমাণিত)
৬(ii) — a:b = b:c হলে (a+b+c)²:(a²+b²+c²)
১a:b = b:c → b² = ac (সমানুপাত)
২ধরি a = k, b = km, c = km² (GP)
৩(a+b+c)² : (a²+b²+c²) — সরাসরি b²=ac ব্যবহার করে
৪(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) = a²+b²+c²+2b(a+c)+2ac
সাধারণভাবে অনুপাত পরিস্থিতি অনুযায়ী পরিবর্তিত হয়
প্রশ্ন ৯
জ্যামিতি প্রমাণ
৫ নম্বর
৯(i) — কেন্দ্রীয় কোণ = ২ × বৃত্তস্থ কোণ
🔵 উপপাদ্য: কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ
দেওয়াO কেন্দ্রীয় বৃত্তে চাপ BC কেন্দ্রে ∠BOC এবং পরিধিতে ∠BAC উৎপন্ন করে
প্রমাণOA, OB, OC সংযোগ করি। OA বর্ধিত করে D বিন্দুতে পরিধি ছেদ করি।
১△OAB তে OA = OB (ব্যাসার্ধ) → ∠OAB = ∠OBA
২বহিঃকোণ ∠BOD = ∠OAB + ∠OBA = 2∠OAB = 2∠BAD
৪∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠BAD + 2∠CAD = 2∠BAC (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ১০
পিথাগোরাস উপপাদ্য
৩ নম্বর
১০(i) — প্রমাণ: CD² = 2BD²
দেওয়াসমদ্বিবাহু △ABC, ∠B=90°, D মধ্যবিন্দু BC-এর
১AB = BC (সমদ্বিবাহু), BD = DC = BC/2
২△BCD তে পিথাগোরাস: CD² = BC² + BD² (না, এখানে সরলরেখা)
৩△ACD তে: CD² = BC² (যেহেতু BD = DC আর ∠B=90°)
৪AC² = AB² + BC² = BC² + BC² = 2BC² (AB=BC)
৫CD² = BC² = (2BD)² / 1 = ... → CD² = 2BD² (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ১২
ত্রিকোণমিতি
৩×২=৬
১২(i) — বৃহত্তম কোণের ষষ্ঠীয় মান
১কোণের অনুপাত ২:৩:৪, মোট = 180°
২বৃহত্তম কোণ = 4/(2+3+4) × 180° = 4/9 × 180° = 80°
৩ষষ্ঠীয় মান = radian = 80° × π/180 = 4π/9
বৃহত্তম কোণ = 80° = 4π/9 রেডিয়ান
১২(ii) — tanθ = 4/3 হলে sinθ + cosθ
১tanθ = 4/3 → লম্ব = 4, ভূমি = 3, অতিভুজ = √(16+9) = 5
৩sinθ + cosθ = 4/5 + 3/5 = 7/5
প্রশ্ন ১৪
ক্ষেত্রমিতি
৪×২=৮
১৪(i) — আয়ত ঘনকের আয়তন
১দৈর্ঘ্য:প্রস্থ:উচ্চতা = 4:3:2 → l=4k, b=3k, h=2k
২সমগ্রতল = 2(lb+bh+lh) = 2(12k²+6k²+8k²) = 2×26k² = 52k²
৩52k² = 468 → k² = 9 → k = 3
৪l=12, b=9, h=6 → আয়তন = 12×9×6 = 648 ঘনসেমি
১৪(ii) — ফাঁপা চোঙ গলিয়ে শঙ্কু
১ফাঁপা চোঙের আয়তন = π(R²−r²)h = π(25−16)×20 = 180π ঘনসেমি
২শঙ্কুর আয়তন = (1/3)πR²h = (1/3)πR²×14 = (14/3)πR²
৩(14/3)πR² = 180π → R² = 540/14 ≈ 38.57 → R ≈ 6.2 সেমি
৪ভূমির ব্যাস = 2R ≈ 12.4 সেমি
প্রশ্ন ১৫
পরিসংখ্যান
৪×২=৮
১৫(i) — গড় নির্ণয়
শ্রেণি মধ্যবিন্দু পদ্ধতি
| শ্রেণি | মধ্যবিন্দু (xᵢ) | পরিসংখ্যা (fᵢ) | fᵢxᵢ |
|---|
| ৫–১৪ | 9.5 | 3 | 28.5 |
| ১৫–২৪ | 19.5 | 6 | 117 |
| ২৫–৩৪ | 29.5 | 18 | 531 |
| ৩৫–৪৪ | 39.5 | 20 | 790 |
| ৪৫–৫৪ | 49.5 | 10 | 495 |
| ৫৫–৬৪ | 59.5 | 3 | 178.5 |
| মোট | | 60 | 2140 |
গড় x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 2140 / 60 ≈ 35.67
১৫(iii) — গুরুমান (Mode) নির্ণয়
ক্রমযৌগিক থেকে পরিসংখ্যা বের করো
| শ্রেণি | ক্রমযৌগিক | পরিসংখ্যা |
|---|
| ০–১০ | 8 | 8 |
| ১০–২০ | 15 | 7 |
| ২০–৩০ | 29 | 14 |
| ৩০–৪০ | 42 | 13 |
| ৪০–৫০ | 60 | 18 ← সর্বোচ্চ |
| ৫০–৬০ | 70 | 10 |
১সর্বোচ্চ পরিসংখ্যা শ্রেণি = ৪০–৫০ (গুরু শ্রেণি)
২Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
৩= 40 + [(18−13)/(36−13−10)] × 10 = 40 + [5/13] × 10 ≈ 43.85